Теорема о равномощности базисов. Размерность пространства. Теорема о продолжении.

Если в векторном пространстве есть базис из $k$ элементов, то любой базис содержит ровно $k$ элементов.

Пусть $A:=(a_{1}, a_{2},\dots,a_{n})$ - базис векторного пространства, а $B:=(b_{1},b_{2},\dots,b_{k})$ другой базис этого же пространства. Хотим доказать, что $n=k$. Предположим, что это не так. Тогда Б.O.O. пусть $n<k$ Рассмотрим систему: $$b_{1},a_{1},a_{2},\dots,a_{n}~~(1)$$ Это линейно зависимая система, так как $b_{1}$ выражается через $A$. По лемме о правом крайнем в $(1)$ есть вектор, который линейно выражается через предыдущие. Это не может быть $b_{1}$, так как у него нет предыдущих. Значит это какой-то вектор $a_{i}$. Выкинув его из $(1)$, получим систему $$b_{1},a_{1},a_{2},...,a_{i-1},a_{i+1},\dots,a_{n}~~(2)$$ которая останется системой образующих по лемме о прополке. Теперь рассмотрим $$b_{2},b_{1},a_{1},a_{2},...,a_{i-1},a_{i+1},a_{n}~~(3)$$ Это линейно зависимая система ненулевых векторов, т.к. вектор $b_{2}$ линейно выражается через систему образующих $(2)$. По лемме о прополке в $(3)$ есть вектор, который линейно выражается через предыдущие. Это не может быть $b_{2}$ и $b_{1}$ (т.к. у $b_{2}$ нет предыдущих, а $b_{1}$ не может выражаться через $b_{2}$ т.к. $B$ линейно независима). Значит это какой-то вектор $a_{j}$ ($i\neq j$). Выкинув его, получим $$b_{2},b_{1},a_{1},a_{2},...,a_{i-1},a_{i+1},\dots,a_{j-1},a_{j+1},\dots,a_{n}~~(4)$$ которая останется системой образующих по лемме о прополке. Продолжая добавлять вектора из $B$ и удалять вектора из $A$, на каждом шаге мы будем получать систему образующих, состоящую из $n$ элементов, в которых всё больше векторов из $B$ и меньше из $A$. Поскольку $k > n$, через $n$ шагов придем к системе образующих $b_{n},b_{n-1},...,b_{1}$. Но тогда вектор $b_{n+1}$ выражается через эту систему образующих, что противоречит линейной независимости $B$ $~~~\square$

Поскольку в доказательстве данной теоремы использовались только те факты, что $A$ - система образующих, а $B$ - линейно независима справедливы: 1. Если у векторного пространства $V$ есть система из $n$ образующих, то любая линейно независимая система в $V$ содержит не больше $n$ векторов. 2. Если в $V$ есть линейно независимая система из $n$ векторов, то любая система образующих пространства $V$ содержит не менее $n$ векторов.

Если у векторного пространства есть конечный базис, то число векторов в этом базисе называется ***размерностью*** этого пространства. - Размерность пространства $V$ обозначается через $\mathrm{dim}~V$. - $\mathrm{dim}~\{\mathbf{0}\} = 0$ - Если $\mathrm{dim}~V = n$, пространство $V$ называют $n$-мерным. - ***Конечномерным*** называют пространство, которое $n$-мерно для какого-то $n$ ≥ 0; ***бесконечномерным*** – пространство, в котором есть бесконечные линейно независимые системы.

Если $V$ конечномерное пространство, то любая линейно независимая система из $V$ может быть дополнена до базиса.

Пусть $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ - базис $V$, а $b_{1},b_{2},\dots,b_{k}$ - это какая-то линейно независимая система. Допишем ее слева к базису $$b_{1},b_{2},\dots,b_{k},a_{1},a_{2},...,a_{n}$$ По теореме о правом крайнем в ней есть вектор, который линейно выражается через предыдущие. Это не может быть ни один из $b_{1},b_{2},\dots,b_{k}$, так как они линейно независимы. Тогда это какой-то $a_j$ выкинем его. Продолжая этот процесс получим базис из $n$ векторов, содержащий $b_{1},b_{2},\dots,b_{k}$$~~~~~\square$